com.google.android.gms.commonに含まれているSignInButtonはGoogleにサインインするボタンの見た目だけを表すクラスです。
このクラスはあくまでも見た目だけを表すもので、実際のログイン処理は自分で実装する必要があります。

SignInButtonの見た目を変更する

SignInButtonは表示内容と色を変更することができます。
見た目の変更には下記の定数で指定します。

int SIZE_ICON_ONLY	Googleアイコンだけが表示されます。
int SIZE_STANDARD	Googleアイコンとテキスト「ログイン」が表示されます。
int SIZE_WIDE	Googleアイコンとテキスト「にログイン」が表示されます。
int COLOR_AUTO	Google Play Servicesが色を決定します。
int COLOR_DARK	暗い色合いのボタンになります
int COLOR_LIGHT	明るい色合いのボタンになります

上記の定数は下記のメソッドの引数として使用できます。

void setSize(int buttonSize)
int buttonSize	ボタンのサイズを表す定数を渡します。
void setColorScheme(int colorScheme)
int colorScheme	カラースキームを表す定数を渡します。
void setStyle(int buttonSize, int colorScheme)
int buttonSize	ボタンのサイズを表す定数を渡します。
int colorScheme	カラースキームを表す定数を渡します。

SignInButtonを制御する

void setOnClickListener(View.OnClickListener listener)
View.OnClickListener listener	クリックされた時のリスナーインターフェースを渡します。
void setEnabled(boolean enabled)
boolean enabled	trueでクリックがきるようになります、falseの場合だとクリックできず非活性な表示になります

サンプルプログラム

package yona.trygms;

import android.os.Bundle;
import android.support.v7.app.AppCompatActivity;
import android.view.View;
import android.widget.LinearLayout;
import android.widget.Toast;

import com.google.android.gms.common.SignInButton;

public class SignInButtonActivity extends AppCompatActivity {

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_sign_in_button);

        LinearLayout container = (LinearLayout)findViewById(R.id.container);
        SignInButton iconOnlyButton = new SignInButton(this);
        iconOnlyButton.setSize(SignInButton.SIZE_ICON_ONLY);
        container.addView(iconOnlyButton);

        SignInButton standardButton = new SignInButton(this);
        standardButton.setSize(SignInButton.SIZE_STANDARD);
        container.addView(standardButton);

        SignInButton wideButton = new SignInButton(this);
        wideButton.setSize(SignInButton.SIZE_WIDE);
        container.addView(wideButton);

        SignInButton autoButton = new SignInButton(this);
        autoButton.setStyle(SignInButton.SIZE_WIDE, SignInButton.COLOR_AUTO);
        container.addView(autoButton);

        SignInButton lightButton = new SignInButton(this);
        lightButton.setStyle(SignInButton.SIZE_WIDE, SignInButton.COLOR_LIGHT);
        lightButton.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
            @Override
            public void onClick(View v) {
                Toast.makeText(SignInButtonActivity.this, "onClick", Toast.LENGTH_SHORT).show();
            }
        });
        container.addView(lightButton);

        SignInButton darkButton = new SignInButton(this);
        darkButton.setStyle(SignInButton.SIZE_WIDE, SignInButton.COLOR_DARK);
        darkButton.setEnabled(false);
        container.addView(darkButton);
    }
}